Áp dụng BĐT Svac - xơ:

\(T=\frac{a}{a^2+8bc}+\frac{b}{b^2+8ca}+\frac{c}{c^2+8ab}\)

\(=\frac{a^2}{a^3+8abc}+\frac{b^2}{b^3+8abc}+\frac{c^2}{c^3+8abc}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^3+b^3+c^3+24abc}\)

Ta lại có: \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+\)\(3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)

\(\ge a^3+b^3+c^3+27\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}-3abc=\)\(a^3+b^3+c^3+24abc\)

Lúc đó: \(T\ge\frac{1}{a+b+c}=1\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\))

Cho tớ sửa đề 

tử của ba cái là mũ 2 lên hết nha

\(T=\frac{a^2}{a^2+8bc}+\frac{b^2}{b^2+8ca}+\frac{c^2}{c^2+8ab}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac+6\left(ab+bc+ac\right)}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+6.\frac{\left(a+b+c\right)}{3}^2}\)

\(=\frac{1}{1+\frac{6}{3}}=\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1/3 

Đề giả thiết cho như vậy hay là \(a^3+b^3+6ab\le8???\)

Đề cho như vậy. (Đề đúng rồi đấy)

Ta có \(a^3+b^3+8ab\le10\)

Áp dụng cosi ta có \(a^3+b^3+1\ge3ab\)

=> \(11ab\le11\)=> \(ab\le1\)

+  \(a^3+a^3+1\ge3a^2\);  \(b^3+b^3+1\ge3b^2\)

=> \(2a^3+2b^3+2\ge3\left(a^2+b^2\right)\)

=> \(a^3+b^3\ge\frac{3\left(a^2+b^2\right)-2}{2}\)

=> \(3\left(a^2+b^2\right)+16ab\le22\)

=> \(P\ge\frac{3}{22-16ab}+\frac{5}{ab}+3ab=\left(\frac{3}{22-16ab}+\frac{22-16ab}{12}\right)+5\left(\frac{1}{ab}+ab\right)-\frac{22}{12}-\frac{2}{3}ab\)

=> \(P\ge2\sqrt{\frac{3}{12}}+5.2-\frac{22}{12}-\frac{2}{3}.1\)

=> \(P\ge\frac{17}{2}\)

Vậy MinP=17/2  khi a=b=1

Dạng này nhìn mệt vãi:(

Do b > 0 nên chia hai vế của giả thiết cho b, ta được: \(a+\frac{2}{b}\le1\)

Bây giờ đặt \(a=x;\frac{2}{b}=y\). Bài toán trở thành:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn \(x+y\le1\). Tìm Min:

\(P=x+y+\frac{1}{x^2}+\frac{8}{y^2}\). Quen thuộc chưa:v

Ko biết có tính sai chỗ nào không, nhưng hướng làm là vậy đó!

\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{a^3+ab^2-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)

mấy cái kia tương tự 

=> P \(\ge a+b+c-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}-\frac{c}{2}=\frac{a+b+c}{2}=1008\)

Vậy Min P = 1008 khi x =y = z = 672

Chỉ làm được 1 tý thôi:

\(a+b+1=8ab\Rightarrow\frac{a+b+1}{ab}=\frac{8ab}{ab}\)

                                   \(\Leftrightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}=8.\)

Đáp án là 8 á. xảy ra khi a=b=\(\frac{1}{2}\) nhưng mình k biết cách làm.